Question

17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接将x=$\frac{π}{4}$代入计算即可．
（Ⅱ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
那么：f（$\frac{π}{4}$）=（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）²+cos2×$\frac{π}{4}$-1．
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+cos$\frac{π}{2}-1$
=1；
（Ⅱ）由函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）是单调递增，
解得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函数的单调递增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力，函数性质和同角三角函数关系式的计算．属于中档题．