Question

6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sinθ．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：
（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为-$\sqrt{3}$的直线与直线l：y=-x+6交于点Q，那
么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²化为普通方程，再转化为参数方程即可．
（Ⅱ）设斜率为$-\sqrt{3}$的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令$M（\sqrt{2}cosα\;，\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα）$，则$d=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}-6|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函数的有界限求解最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ^2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴曲线C的普通方程为${x^2}+{y^2}-2\sqrt{2}y=0$，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅱ）方法一：设斜率为$-\sqrt{3}$的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，
则 $|MQ|=\frac{d}{sinγ}$，所以d取最小值时，|MQ|最小．
令$M（\sqrt{2}cosα\;，\sqrt{2}+\sqrt{2}sinα）$，则$d=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}-6|}}{{\sqrt{2}}}$，
当$α=\frac{π}{4}$时，d最小．
∴点M的坐标为$M（1，\sqrt{2}+1）$．
（Ⅱ）方法二：设斜率为$-\sqrt{3}$的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，
则 $|MQ|=\frac{d}{sinγ}$，
∴d取最小值时，|MQ|最小．
∴，M是过圆心垂直于l的直线$y=x+\sqrt{2}$与圆（靠近直线l端）的交点．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{（y-\sqrt{2}）^2}=2\;\\ y=x+\sqrt{2}\;\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\;\\ y=\sqrt{2}+1\;\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\;\\ y=\sqrt{2}-1\;\end{array}\right.$（舍去）．
∴点M的坐标为$M（1，\sqrt{2}+1）$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．