Question

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁的截面面积为S，则S的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意画出图形，根据棱AA₁上的点到对角线BD₁的距离可得使截面面积取得最值的情形，则面积S的取值范围可求．

解答 解：由图可知，当M、N分别为AA₁、CC₁ 的中点时，截面面积最小为$\frac{1}{2}×MN×B{D}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
当截面为ABC₁D₁ 时，截面面积最大为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴S的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．