Question

9．2016年某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计60吨厨余垃圾，假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱的投放量分别为x，y，z，其中x＞0，x+y+z=60，则数据x，y，z的标准差的最大值为20$\sqrt{2}$．
（注：方差${s^2}=\frac{1}{n}[{{{（{{x_1}-\overline x}）}^2}+{{（{{x_2}-\overline x}）}^2}+…+{{（{{x_n}-\overline x}）}^2}}]$，其中$\overline x$为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer 1

分析 计算方差可得s²=$\frac{1}{3}$[（x-20）²+（y-20）²+（z-20）²]=$\frac{1}{3}$ （x²+y²+z²-1200），因此有当x=60，y=0，z=0时，有s²=800，进而可得标准差的最大值．

解答 解：由题意可知：∵x+y+z=60，
∴x，y，z的平均数为20
∴s²=$\frac{1}{3}$[（x-20）²+（y-20）²+（z-20）²]=$\frac{1}{3}$ （x²+y²+z²-1200），
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz≥x²+y²+z²，
因此有当x=60，y=0，z=0时，
方差最大值s²=800，
此时数据x，y，z的标准差的最大值为20$\sqrt{2}$，
故答案为：20$\sqrt{2}$

点评 本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题