Question

6．已知函数f（x）=e^2x+ax，若当x∈（0，+∞）时，总有f（x）＞1，则实数a的取值范围为[-2，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为a＞$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：若当x∈（0，+∞）时，总有f（x）＞1，
即a＞$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$，（x＞0），则g′（x）=$\frac{{e}^{2x}（1-2x）-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令h（x）=e^2x（1-2x）-1，则h′（x）=-4xe^2x＜0，
h（x）在（0，+∞）递减，
故h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
故g（x）在（0，+∞）递减，
而$\underset{lim}{x→0}\frac{1{-e}^{2x}}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$（-2e^2x）=-2，
故a≥-2，
故答案为：[-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．