Question

12．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆的标准方程，并求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出A、B的坐标，代入椭圆方程，作差求得AB所在直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．

解答 解：（1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意c=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
∴b²=a²-c²=12．
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆E的方程得：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$   ①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1$   ②，
①-②得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{16}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{12}$，
∵点P（2，1）为AB的中点，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{12（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{12×4}{16×2}=-\frac{3}{2}$．
即${k_{AB}}=-\frac{3}{2}$．
∴点P（2，1）为中点的弦AB所在直线的方程为y-1=$-\frac{3}{2}$（x-2），
化为一般式方程：3x+2y-8=0．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．