Question

（本小题满分13分）
已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；
（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)  ;(2)存在

试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.
(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.
试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.
当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即.
由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.