Question

20．对于函数f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₃₆（x）=x，x∈R}，则集合M为（　　）

• A． 空集
• B． 实数集
• C． 单元素集
• D． 二元素集

Answer 1

分析 根据条件可分别求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），f₇（x），会得出f_n（x）是以4为周期，这样即可解出方程f₂₀₃₆（x）=x，便可得到集合M所含元素的情况，从而找出正确选项．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，∴f₂（x）=1-$\frac{2}{f（x）+1}$=-$\frac{1}{x}$，
f₃（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，
∴f_n（x）是以4为周期，∴f₂₀₃₆（x）=f₄（x）=x，
∴集合M={x|f₂₀₃₆（x）=x，x∈R}=R．
故选：B．

点评 本题考查函数的性质及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．