Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}$．
（1）求直线l被圆C截得的弦长；
（2）若M的坐标为（-1，0），直线l与圆C交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程得$x-\sqrt{3}y+1=0$，圆C的极坐标方程化为普通方程可得x²+y²=8，圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$，由此能求出直线l被圆C截得的弦长．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$，由此能出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程可得$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}$，
∴圆C的极坐标方程可化为ρ²=8，化为普通方程可得x²+y²=8，
圆心C到直线l的距离为$d=\frac{1}{{\sqrt{1+3}}}=\frac{1}{2}$，
故直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{8-{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}=\sqrt{31}$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，
得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$．（*）
设t₁，t₂是方程（*）的两个根，则t₁t₂=-7，
故|MA|•|MB|=|t₁t₂|=7．

点评 本题考查弦长的求法，考查两线段的乘积的求法，考查韦达定理、均值不等式、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．