Question

1．已知a＞0，b＞0，若直线l₁：x+a²y+2=0与直线l₂：（a²+1）x-by+3=0互相垂直，则ab的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，直线l₁：x+a²y+2=0与直线l₂：（a²+1）x-by+3=0互相垂直，可得-$\frac{1}{{a}^{2}}$×$\frac{{a}^{2}+1}{b}$=-1，可得b=$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$．代入ab，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，直线l₁：x+a²y+2=0与直线l₂：（a²+1）x-by+3=0互相垂直，
∴-$\frac{1}{{a}^{2}}$×$\frac{{a}^{2}+1}{b}$=-1，可得b=$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$．
∴ab=$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，当且仅当a=1，b=2时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了直线相互垂直与斜率的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．