Question

6．已知矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，若将它关于对角线AC折起后，使边AB与CD交于点P（如图所示），则△ADP面积的最大值为27-18$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，则AD=6-x，利用勾股定理得到PD，再根据三角形的面积公式和基本不等式的性质，即可求出．

解答 解∵设AB=x，则AD=6-x，又DP=PB′，AP=AB′-PB′=AB-DP，
即AP=x-DP，
∴（6-x）²+PD²=（x-PD）²，得PD=6-$\frac{18}{x}$，
∵AB＞AD，
∴3＜x＜6，
∴△ADP的面积S=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$（6-x）（6-$\frac{18}{x}$）
=27-3（x+$\frac{18}{x}$）≤27-3×2$\sqrt{x•\frac{18}{x}}$=27-18$\sqrt{2}$，
当且仅当x=3$\sqrt{2}$时取等号，
∴△ADP面积的最大值为27-18$\sqrt{2}$，
故答案为：27-18$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式的应用，其中根据已知条件求出△ADP的面积的表达式，将问题转化为利用基本不等式求最值问题，是解答本题的关键．属于中档题．