Question

14．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（Ⅰ）求未来3年中，设ξ表示流量超过120的年数，求ξ的分布列及期望；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意P（X＞120）=0.1，由二项分布ξ～B（3，0.1），计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）记水电站的总利润为Y，计算 ①安装1台发点机时的年利润Y与E（Y）值，②安装2台发电机时的年利润E（Y）值，③安装3台发电机时的年利润E（Y）值，比较即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，P（X＞120）=0.1，…（1分）
由二项分布可知，ξ～B（3，0.1）；
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•（1-0.1）³=0.729，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•0.1•（1-0.1）²=0.243，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•0.1²•（1-0.1）=0.027，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•0.1³=0.001，…（4分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

数学期望为E（ξ）=3×0.1=0.3；…（6分）
（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位：万元），
 ①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，
故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，
E（Y）=5000×1=5000；    …（7分）
 ②若安装2台发电机，
当40＜X＜80时，只一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，P（Y=4200）=0.2，
当X≥80时，2台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，P（Y=10000）=0.8，
E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．…（9分）
③若安装3台发电机，
当40＜X＜80时，1台发电机运行，此时Y=5000-2×800=3400，P（Y=3400）=0.2，
当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，P（Y=9200）=0.7，
当X＞120时，3台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，P（Y=15000）=0.1，
E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620；      …（11分）
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．