Question

5．已知向量$\vec a=（1，2），\vec b=（-3，4）$
（1）求$|{3\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值；
（2）若$\vec a⊥（\vec a+λ\vec b）$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，由向量的坐标计算公式表示$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$的坐标，进而分析可得若$\vec a⊥（\vec a+λ\vec b）$，则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=0，由数量积的坐标计算公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，向量$\vec a=（1，2），\vec b=（-3，4）$
则3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（6，2），
则$|{3\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
（2）向量$\vec a=（1，2），\vec b=（-3，4）$
则$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1-3λ，2+4λ），
若$\vec a⊥（\vec a+λ\vec b）$，则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=1×（1-3λ）+2×（2+4λ）=5+5λ=0，
解可得：λ=-1．

点评 本题考查平面向量的数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，关键是掌握向量的坐标计算公式．