Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=CF=3．
（1）求B₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值；
（2）求证：B₁F⊥D₁E．

Answer 1

分析：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BCC₁B₁，连接B₁C，则∠FB₁C为B₁F与平面BCC₁B₁所成的角，在直角三角形B₁CF，求出tan∠FB₁C即可；
（2）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，欲证B₁F⊥D₁E，只须证

D1E

•

B1F

=0再用向量数量积公式求解即可

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BCC₁B₁，
连接B₁C，则∠FB₁C为B₁F与平面BCC₁B₁所成的角，…（4分）
又∠B₁CF=90°，CF=3，B1C=4

2

，
所以tan∠FB1C=

CF

B1C

=

3 2

8

、…（6分）
（2）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D₁（0，0，4），E（1，4，0），F（0，1，0），B₁（4，4，4），

D1E

=(1， 4，-4)，

B1F

=(-4， -3，-4)，…（11分）
计算得

D1E

•

B1F

=0，所以B₁F⊥D₁E．…（12分）

点评：本题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、向量法在求线线的垂直的应用，在研究空间线线的垂直时，要首选向量法，方便灵活，是常考类型，属中档题．