Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=2代入函数解析式，求出函数的导函数，进一步求出f（1）和f′（1），由直线方程的点斜式得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）由导数求出函数在区间（0，2）上的极值，和端点值比较后得函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x³-2x²-4x，
∴f'（x）=3x²-4x-4，
∴f'（1）=-5，f（1）=-5，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+5=-5×（x-1），
即5x+y=0；
（2）x∈[0，2]，f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
令f'（x）=0，则x1=-

a

3

，x2=a．
①当a=0时，f'（x）=3x²≥0在[0，2]上恒成立，
∴函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴f（x）_min=f（0）=0；
②当0＜a＜2时，在区间[0，a）上，f'（x）＜0，在区间（a，2]上，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在区间[0，a）上单调递减，在区间（a，2]上单调递增，且x=a是[0，2]上唯一极值点，
∴f（x）min=f（a）=-a3；
③当a≥2时，在区间[0，2]上，f'（x）≤0（仅有当a=2时f'（2）=0），
∴f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴函数f（x）min=f（2）=8-4a-2a2．
综上所述，当0≤a＜2时，函数f（x）的最小值为-a³，a≥2时，函数f（x）的最小值为8-4a-2a²．
故g（a）=

-a3  (0≤a＜2) 8-4a-2a2  (a≥2)

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法．是压轴题．