Question

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₈=68，a₁a₈=-38且a₁＜a₈．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）调整数列{a_n}的前三项a₁、a₂、a₃的顺序，使它成为等比数列{b_n}的前三项，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先利用已知条件求得a₁=-2，a₈=19进而求出公差即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列{a_n}的前三项再利用等比数列满足的条件进行调整，求出等比数列{b_n}的前三项，知道首项和公比，再代入等比数列的求和公式即可求出{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得求得a₁=-2，a₈=19
∴{a_n}的公差d=3   
∴a_n=a₁+（n-1）d=-2+3（n-1）
=3n-5；    
（Ⅱ）由（1），得a₃=a₂+d=1+3=4，
∴a₁=-2，a₂=1，a₃=4．
依题意可得：数列{b_n}的前三项为
b₁=1，b₂=-2，b₃=4或b₁═4，b₂=-2，b₃=1．
（1）当数列{b_n}的前三项为b₁=1，b₂=-2，b₃=4时，则q=-2，
∴S_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1•[1-(-2)n]

1-(-2)

=

1

3

[1-(-2)n]
（2）当数列{b_n}的前三项为b₁=4，b₂=-2，b₃=1时，则q=-

1

2

．
∴Sn=

b1(1-qn)

1-q

=

4[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

8

3

[1-(-

1

2

)n]．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等比数列的求和公式，体现了分类讨论的数学思想方法，
是中档题．