Question

（2007•惠州模拟）设n为正整数，规定：fn(x)=

f{f[…f(x)]}

n个f

，已知f(x)=

2(1-x)，0≤x≤1 x-1，1＜x≤2

，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求f2007(

8

9

)的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．

Answer 1

分析：（1）分类讨论解出即可；
（2）利用分段函数的意义得出函数值即可；
（3）利用已知得出其周期即可；
（4）利用（2）（3）即可找出几何B中至少含有8个元素．

解答：解：（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥

2

3

，∴

2

3

≤x≤1．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集为{x|

2

3

≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
（3）f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，f2(

8

9

)=f(f1(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，
f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，
一般地，f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)，（k，r∈N^*），
∴f2007(

8

9

)=f3(

8

9

)=

5

9

． 
（4）由（1）知，f(

2

3

)=

2

3

，∴fn(

2

3

)=

2

3

，则f12(

2

3

)=

2

3

，

2

3

∈B．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B．
综上所述：

2

3

，0，1，2，

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B，
∴B中至少包含8个元素．

点评：熟练掌握分类讨论思想方法、分段函数的意义、函数的周期性等是解题的关键．