Question

设函数f(x)=lg

1+2x+4xa

4

，a∈R，如果不等式f（x）＞（x-1）lg4在区间[1，3]上有解，则实数a的取值范围是

a＞

1

4

．

Answer 1

分析：不等式f（x）＞（x-1）lg4化简为1+2^x+4^xa＞4^x．将a分离得出a＞

4x-2x -1

4x

只须a大于g（x）=

4x-2x -1

4x

的最小值即可．

解答：解：f(x)=lg

1+2x+4xa

4

=lg（1+2^x+4^xa）-lg4．
等式f（x）＞（x-1）lg4即为
lg（1+2^x+4^xa）＞xlg4=lg4^x．
1+2^x+4^xa＞4^x．
将a分离得出a＞

4x-2x -1

4x

令g（x）=

4x-2x -1

4x

4x-2x -1

4x

=1-

1

2x

-

1

4x

，只须a大于g（x）的最小值即可
易知g（x）在[1，3]上单调递增，最小值为g（1）=1-

1

2

-

1

4

=

1

4

所以a＞

1

4

故答案为：a＞

1

4

点评：本题考查函数与不等式的综合．参数分离的思想方法．本题得出a大于g（x）=

4x-2x -1

4x

的最小值是关键．