Question

8．已知f（x）=max{x²-ax+a，ax-a+1}，其中max{x，y}=$\left\{\begin{array}{l}{y，x≤y}\\{x，x＞y}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f（x）=x²-ax+a，求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）的最小值m（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：对 x∈R时，x²-ax+a≥ax-a+1恒成立，整理可知：x²-2ax+2a-1≥0恒成立根据二次函数性质可知：△＜0，即可求得a的值；
（Ⅱ）由当x²-2ax+a≥ax-a+1，即（x-1）[x-（2a-1）]≥0，由a＞1，则2a-1＞1，因此不等式的解为：x≤1或x≥2a-1，分类当$\frac{a}{2}$≤1，即1＜a≤2 时及当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2 时，根据函数的单调性即可求得f（x）的最小值m（a）的表达式．

解答 解：（Ⅰ）由对任意x∈R，恒有f（x）=x²-ax+a，
∴对 x∈R时，x²-ax+a≥ax-a+1恒成立，…（3分）
即x²-2ax+2a-1≥0恒成立
∴△=4a²-4（2a-1）≤0，即（a-1）²≤0，
∴a=1，
 实数a的值1；…（6分）
（Ⅱ）若x²-2ax+a≥ax-a+1，则x²-2ax+2a-1≥0，即（x-1）[x-（2a-1）]≥0，
∵a＞1，
∴2a-1＞1，
∴不等式的解为：x≤1或x≥2a-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a（x≤1或x≥2a-1）}\\{ax-a+1（1＜x＜2a-1）}\end{array}\right.$，…（9分）
（1）当$\frac{a}{2}$≤1，即1＜a≤2 时，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$） 递减，在（$\frac{a}{2}$，+∞）递增，
∴f（x）的最小值m（a）=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+a，…（12分）
（2）当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2 时，f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增
∴f（x）的最小值m（a）=f（1）=1，
∴m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}+a}&{1＜a≤2}\\{1}&{a＞2}\end{array}\right.$． …（15分）

点评 本题考查函数的最值及几何意义，二次函数的最值，考查利用函数的单调性求函数的最值，考查计算能力，属于中档题．