Question

已知虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），若|α-β|=1，则p=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：根据根与系数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虚数α、β是方程x²+px+1=0的两个虚根，
则α、β互为共轭复数，设α=a+bi，则β=a-bi，
则α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
则由α²+pα+1=0得a²-b²+2abi+p（a+bi）+1=0，
即a²-b²+pa+1=0且2ab+bp=0，
即p=-2a，a²-

1

4

-2a²+1=0
即a²=

3

4

，a=±

3

2

，
则p=-2a=±

3

，
（另解：∵虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虚数α、β是方程x²+px+1=0的两个虚根，
则α、β互为共轭复数，设α=a+bi，则β=a-bi，
则α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
由根与系数之间的关系得α+β=-p=2a，αβ=a²+b²=1，
即a²=1-b²=1-

1

4

=

3

4

，a=±

3

2

，
则p=-2a=±

3

，
故答案为：±

3

，

点评：本题主要考查复数的有关概念和运算，利用复数的四则运算以及根与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．