Question

【题目】设P1 ， P2 ， …Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1 ， P2 ， …Pn的距离之和最小，则称点P为P1 ， P2 ， …Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确；
②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确．
所以答案是：①④．

【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．