Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．

（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接A1C，交AC1于点E，

则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．

因为DE平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

（2）解：建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

C1（0，1，2）D（ ， ，0），

=（ ， ，0）， =（0，1，2）．

设平面ADC1的法向量 =（x，y，z），

则 ，不妨取 =（2，﹣2，1）．

平面ABA1的一个法向量 = =（0，1，0）．

|cos＜ ， ＞|=| |= ，

设平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角为θ，

sinθ= = ．

∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是 ．

【解析】（1）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B，由此能证明A1B∥平面ADC1 ． （2）建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．