Question

【题目】设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据图形中圆的半径相等及平行线同位角相等容易得出EB=ED，得出结论|EA|＋|EB|为定值，利用定义可以判断出点E的轨迹为椭圆，求出方程，但要注意标注范围；（2）求对角线互相垂直的四边形面积的最值，首先设直线方程联立方程组求弦长，表示出四边形的面积，再求出面积的最值，注意直线的斜率不存在的情形.

试题解析：

(1)∵|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，

∴|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，

从而|AD|＝4.

∴|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的迹方程为： (y≠0).

(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由

得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .

∴|MN|＝ |x1－x2|＝ .

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：

y＝－ (x－1)，A到m的距离为 ，

∴|PQ|＝2 .

故四边形MPNQ的面积

S＝|MN||PQ|＝12 .

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8 ).