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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M,N两点,△FMN面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P,A,B是椭圆E上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点,使
OP
=m
OA
+n
OB

①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
②求OA2+OB2的值.
分析:(1)由△FMN面积S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb
,可得cb=1,再有离心率公式e=
c
a
=
2
2
及a2=b2+c2即可得到a,b,c;
(2)①设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),把点A,B代入椭圆方程可得
x
2
1
2
+
y
2
1
=1
③,
x
2
2
2
+
y
2
2
=1
④,又Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点可得m2+n2=1⑤,
OP
=m
OA
+n
OB
,得到
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.
因P在椭圆上,故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1
. 把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,满足的式子即可证明结论;
②利用①的结论kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
为定值.可得故
y
2
1
+
y
2
2
=1
. 及  又(
x
2
1
2
+
y
2
1
)+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)=2
,可得
x
2
1
+
x
2
2
=2
.故可证明OA2+OB2=
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
为定值.
解答:解:(1)由椭圆的离心率为
2
2
,得
c
a
=
2
2
①,
又△FMN面积S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb
,所以cb=1②,
由①②及a2=b2+c2可解得:a2=2,b2=c2=1,
故椭圆E的方程是
x2
2
+y2=1
. 
(2)①设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
x
2
1
2
+
y
2
1
=1
③,
x
2
2
2
+
y
2
2
=1
④,
又m2+n2=1⑤,
OP
=m
OA
+n
OB
,故
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.

因P在椭圆上,故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1
.      
整理得(
x
2
1
2
+
y
2
1
)m2+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)n2+2(
x1x2
2
+y1y2)mn=1

将③④⑤代入上式,并注意点Q(m,n)的任意性,得:
x1x2
2
+y1y2=0

所以,kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
为定值.
(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x
2
1
2
x
2
2
2
=(1-
y
2
1
)(1-
y
2
2
)=1-(
y
2
1
+
y
2
2
)+
y
2
1
y
2
2

y
2
1
+
y
2
2
=1
.                 
(
x
2
1
2
+
y
2
1
)+(
x
2
2
2
+
y
2
2
)=2
,故
x
2
1
+
x
2
2
=2
.所以OA2+OB2=
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2
=3.
点评:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识,需要较强运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想.
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2
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x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
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3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
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1
2
,则m的值为
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
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(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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