Question

O为坐标原点, 和两点分别在射线 上移动,且,动点P满足,

记点P的轨迹为C.

(I)求的值;

(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?

(III)设点G(－1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G为圆心的圆上,求的取值范围.

Answer 1

(I)    

(II) 轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.

 (III)

解析:

(I) ∵,分别在射线上,

即,

又∵      .

,      .

(II) 设由可得

即

两式相减有: .

∵、不同时为0,   

轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.

(III)

消去,整理得: .

∵直线与曲线C交于M、N两点,

设

即

由(1)整理得:

由(3)有:

由(2)有.

又∵M、N在以点G为圆心的圆上,

设MN的中点为Q,则

∵,

∵       

又∵

.

整理得

把(6)代入(4)中有:

由

又由(6)有

∵

于是

解得

再由.

综合得的取值范围为