Question

已知数列{a_n}中，a₁=8，且（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：计算题,压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）将a₁=8代入（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12，求出a₂；再依次求出a₃，a₄；
（2）化简（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12为

an+1

2(n+1)+1

-2=3（

an

2n+1

-2），则{

an

2n+1

-2}是以

2

3

为首项，3为公比的等比数列，从而求{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=（2n+1）•3^（n-2），先求其前n项和，再求数列{a_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵a₁=8，代入（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12，
得3a₂=（6+9）×8-16-32-12=60，
∴a₂=20，
同理，a₃=56，a₄=180；
（2）∵（2n+1）a_n+1=（6n+9）a_n-16n²-32n-12．
∴

an+1

6n+9

=

an

2n+1

-

16n2+32n+12

(2n+1)(6n+9)

，
即

an+1

2(n+1)+1

=3

an

2n+1

-4，
即

an+1

2(n+1)+1

-2=3（

an

2n+1

-2），
又∵

a1

3

-2=

8

3

-2≠0，
∴{

an

2n+1

-2}是以

2

3

为首项，3为公比的等比数列，
则

an

2n+1

-2=

2

3

×3^（n-1）=2•3^（n-2），
∴a_n=（2n+1）（2+2•3^（n-2））．
（3）∵a_n=（2n+1）（2+2•3^（n-2））=2（2n+1）•3^（n-2）+2（2n+1）；
令b_n=（2n+1）•3^（n-2），
则S_n=3•3^-1+5•3⁰+7•3¹+…+（2n+1）•3^（n-2）①，
3S_n=3•3⁰+5•3¹+7•3²+…+（2n+1）•3^（n-1）②，
②-①得，
2S_n=-1-2（3⁰+3¹+3²+…+3^（n-2））+（2n+1）•3^（n-1）
=（2n+1）•3^（n-1）-1-3^（n-1）+1
=2n•3^（n-1），
则S_n=n•3^（n-1），
则设数列{a_n}的前n项和为T_n，
则T_n=2n•3^（n-1）+2

3+2n+1

2

n
=2n•3^（n-1）+2n（n+2）
=2n（3^（n-1）+n+2）．

点评：本题考查了递推法求数列中有限项的方法，第2问中的表达式化简很难，是本题的难点，第3问要想到将问题分化，从而简化运算，属于难题．