Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+（y-3）²=1相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用圆心（0，3）到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，
依题意，直线bx±ay=0与圆x²+（y-2）²=1相切，
设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，
则d=$\frac{3a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3a}{c}$=1，
∴双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=3．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题．