Question

已知向量m=(1,1),向量n与向量m夹角为,且m·n=-1.

(1)求向量n;

(2)若向量n与向量q=(1,0)的夹角为,向量p=(cosA,2cos²),其中A、C为△ABC的内角,且A、B、C依次成等差数列,试求|n+p|的取值范围.

Answer 1

解:(1)设n=(x,y).

由m·n=-1,有x+y=-1.①

由m与n夹角为,有m·n=|m||n|cos.

∴|n|=1,则x²+y²=1.②

由①②解得或

∴n=(-1,0)或n=(0,-1).

(2)由n与q垂直知n=(0,-1).

由2B=A+C知B=,A+C=,0＜A＜.

若n=(0,-1),则n+p=(cosA,2cos²-1)=(cosA,cosC).

∴|n+p|²=cos²A+cos²C=+=1+［cos2A+cos(-2A)］=1+cos(2A+).

∵0＜A＜,＜2A+＜,

∴-1≤cos(2A+)＜,

≤1+cos(2A+)＜,

即|n+p|²∈［,).

∴|n+p|∈［,).