Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（2cosx，\sqrt{3}），\overrightarrow b=（sinx，cos2x）$，设f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，$g（x）=mcos（2x-\frac{π}{6}）-2m+3（m＞0）$，若对任意${x_1}∈[0，\frac{π}{4}]$都存在${x_2}∈[0，\frac{π}{4}]$，使得g（x₁）=f（x₂）成立．则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{2}{3}，2）$
• B． $（\frac{2}{3}，2]$
• C． $[1，\frac{4}{3}]$
• D． $（1，\frac{4}{3}）$

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，依题意，对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（2cosx，\sqrt{3}），\overrightarrow b=（sinx，cos2x）$，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
∴f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵当x∈[0，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
对于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，
若对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
则1≤-$\frac{3m}{2}$+3，且3-m≤2，
解得实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立”的含义，属于难题．