Question

19．设向量$\overrightarrow a=（x，4）$，$\overrightarrow b=（7，-1）$，已知$|{\overrightarrow a{+}\overrightarrow b}|{=}|{\overrightarrow a}|$．
（I）求实数x的值；
（II）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （I）利用向量数量积运算性质即可得出．
（II）利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$|{\overrightarrow a{+}\overrightarrow b}|{=}|{\overrightarrow a}|$．
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0…（2分）
∴2（7x-4）+50=0，解得x=-3…（5分）
（Ⅱ）设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow{b}$=（7，-1），∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-21-4=-25，…（6分）
且$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，$|\overrightarrow{b}|$=5$\sqrt{2}$…（8分），
∴$cosθ=\frac{{{a}•{b}}}{{|{a}||{b}|}}=\frac{-25}{{5×5\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）
∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{3π}{4}$，即a，b夹角为$\frac{3π}{4}$．…（10分）

点评 本题考查了向量数量积的运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．