Question

11．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，y=0，则f（0）=f（0）=0．令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，f（x）=f（-x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x）为增函数，再利用单调性求最值；
（3）不等式f（2（log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0，可化为2（log₂x）²-4）＞-4m+2（log₂x），
令t=log₂x，则0≤t≤1，问题就转化为2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞-2t²+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，只需4m＞y_max，

解答 解：（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x₁＜x₂，∴f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）为增函数，
∴当x=-2时，函数有最小值，f（x）_min=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=-1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函数f（x）为奇函数，
∴不等式f（2（log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0
可化为，f（2（log₂x）²-4）＞f（-4m+2（log₂x））
又∵f（x）为增函数，∴2（log₂x）²-4）＞-4m+2（log₂x），
令t=log₂x，则0≤t≤1，
问题就转化为2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞-2t²+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，
令y=-2t²+2t+4，只需4m＞y_max，
而y=-2t²+2t+4（0≤t≤1），
∴当t=$\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{9}{2}$，则4m＞$\frac{9}{2}$．
∴m的取值范围就为m$＞\frac{9}{8}$．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查赋值法的运用和函数的单调性的判断和运用，以及恒成立问题的解法，属于中档题．