Question

6．偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x；对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $[-2，\frac{3}{4}]$
• B． $（-∞，-\frac{3}{4}]$
• C． $[-\frac{3}{4}，0]$
• D． $[-\frac{4}{3}，1]$

Answer 1

分析 根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥2f（|x|），从而得到|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）²≥4x²，经整理便可得到3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围．

解答 解：根据条件得：f（|x+t|）≥2f（|x|）；
∴|x+t|≥2|x|；
∴（x+t）²≥4x²；
整理得，3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立；
设g（x）=3x²-2tx-t²，g（t）=0；
∴g（t+1）=3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0；
解得t≤-$\frac{3}{4}$；
故选：B．

点评 考查偶函数的定义，y=x的单调性，不等式的性质，并需熟悉二次函数的图象．