Question

17．下列几个命题：
①函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函数，但不是奇函数；
②“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
③设函数y=f（x）的定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
④若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=$\frac{π}{2}+kπ$（k∈Z）；
⑤已知x∈（0，π），则y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值为2$\sqrt{2}$．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义，可判断①；根据二次不等式恒成立的充要条件，可判断②；根据函数图象的对称变换，可判断③；根据余弦型函数的图象和性质，可判断④；根据正弦函数的值域及对勾函数的图象和性质，可判断⑤．

解答 解：①函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$=0的定义域为{-1，1}关于原点对称，且f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）均恒成立，故即是偶函数，又是奇函数，故错误；
②“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”时，“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”，
“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”时“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”，
故“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件，故正确；
③设函数y=f（x）的定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，故错误；
④若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则cosφ=0，则φ=$\frac{π}{2}+kπ$（k∈Z），故正确；
⑤已知x∈（0，π），则当x=$\frac{π}{2}$，即sinx=1时，y=sinx+$\frac{2}{sinx}$取最小值为3，故错误；
故正确的命题个数是2个，
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，函数图象的对称变换，一元二次不等式恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档．