Question

12．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则u=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 画出约束条件表示的可行域，显然当x，y都取得最大值时u取得最小值，当u取得最大值时，点（x，y）必在可行域的边界上，此时根据基本不等式求出u的最大值．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图：

由可行域可知当x=4，y=2时，u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}$取得最小值$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．
当点（x，y）落在直线x+2y-5=0上某处时，u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}$取得最小值．
此时，x+2y=5，2xy≤（$\frac{x+2y}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．
∴u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{5}{2xy}$≥$\frac{4}{5}$．
当且仅当x=2y，即x=$\frac{5}{2}$，y=$\frac{5}{4}$时取等号．显然点（$\frac{5}{2}，\frac{5}{4}$）在可行域内．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．