Question

2．方程$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$解集是{x|x=kπ+（-1）^k$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 先利用两角和公式对 sinx+cosx化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x的解集．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{5}{6}$π，
∴x+$\frac{π}{4}$=kπ+（-1）^k$\frac{π}{6}$，
∴x=kπ+（-1）^k$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$，
∴解集为{x|x=kπ+（-1）^k$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$，k∈Z}，
故答案为：{x|x=kπ+（-1）^k$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了终边相同的角、正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．