Question

3．如图，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：BC⊥平面PEF．

Answer 1

分析 （I）根据中位线定理得出EF∥AB，故而EF∥平面PAB；
（II）由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故有PE⊥BC，由AB∥EF，∠ABC=90°可得BC⊥EF，从而BC⊥平面PEF．

解答 证明：（I）∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB．
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（II）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，∴PE⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，
∴PE⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴PE⊥BC，
EF∥AB，∠ABC=90°，
∴EF⊥BC，EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于中档题．