Question

8．设在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x-3，x-y）．
（Ⅰ）在一个盒子中，放有标号为2，3，4的三张卡片，从此盒中先抽取一张卡片其标号记为x，放回后再抽取一张卡片其标号记为y，若|OP|表示O与P两点之间距离，求事件“|OP|=1”的概率；
（Ⅱ）若利用计算机随机在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．

Answer 1

分析 （I）列出抽出的卡片的所有情况以及使|OP|=1的情况，利用古典概型解答；
（II）在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，为正方形区域，满足P点在第一象限的区域是满足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，分别求出面积，利用几何概型个数解答．

解答 解：（I）抽出的卡片的所有情况分别是：

（x，y）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（4，2）	（4，3）	（4，4）
P坐标	（-1，0）	（-1，-1）	（-1，-2）	（0，1）	（0，0）	（0，-1）	（1，2）	（1，1）	（1，0）
|OP|	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{5}$	1	0	1	$\sqrt{5}$	$\sqrt{2}$	1

共有9种情况，…（4分）
使|OP|=1的（x，y）有（2，2）、（3，2）、（3，4），（4，4），有4种情况，
事件“|OP|=1”的概率$\frac{4}{9}$；…（6分）
（II）在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\end{array}\right.$，
在平面直角坐标系xOy中表示的区域的面积是16，…（8分）P点在第一象限应满足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，如图…（10分）
在平面直角坐标系xOy中表示的区域的面积是$\frac{7}{2}$，
∴P点在第一象限的概率是$\frac{7}{32}$．…（12分）

点评 本题考查了古典概型和几何概型的应用，古典概型关键是明确事件个数，几何概型关键是明确测度，利用长度、面积或者体积比求概率．