Question

1．已知函数f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g（x）=x²+ln（x-a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-\sqrt{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，\sqrt{e}）$
• C． $（-\sqrt{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（-\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意可得，存在x＜0使f（x）=g（-x），即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在（-∞，0）上有零点，从而求解．

解答 解：f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g（x）=x²+ln（x-a）的图象上存在关于y轴对称的点，
则等价为f（x）=g（-x），在x＜0时，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x-a），
即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a），
则m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）在其定义域上是增函数，
且x→-∞时，m（x）＜0，
若a≥0时，x→-a时，m（x）＞0，
故e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解，
若a＜0时，
则e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x-a）=0在（-∞，0）上有解可化为：
e⁰-$\frac{1}{2}$-ln（-a）＞0，
即ln（-a）＜$\frac{1}{2}$，
解得a＞-$\sqrt{e}$，
故选：A．

点评 本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．