Question

11．已知函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，且y=f（x）与g（x）=x²+a的图象有公共点，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，满足f（-x）=f（x），求出k值，进而求出函数的解析式，令h（x）=x²+e^x+e^-x-（x²+a）=e^x+e^-x-a=0，则当且仅当a≥2时，h（x）=0有解，即可得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即（1+k）（e^-x-e^x）=0，
即k=-1，
此时f（x）=x²+e^x+e^-x，
令h（x）=x²+e^x+e^-x-（x²+a）=e^x+e^-x-a=0，则当且仅当a≥2时，h（x）=0有解，故y=f（x）与g（x）=x²+a的图象有公共点，实数a的取值范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数的零点，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．．