Question

2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$，椭圆E的右顶点到右焦点与到直线x=2的距离之比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过原点O作两条动直线AC、BD分别交椭圆E与A、C和B、D两点，且满足$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由点到直线方程，d=$\frac{丨c+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$及$\frac{a-1}{丨2-a丨}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a和c值，根据椭圆的性质b²=a²-c²=1，求得b，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论直线AC的斜率为0，直线AC的斜率不存在时，求得四边形ABCD面积2$\sqrt{2}$，当斜率存在且不为0时，将直线AC的方程代入椭圆方程，分别求得丨AC丨和丨BD丨，由S_ABCD=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{2（{k}^{2}+1）^{2}+（{k}^{2}+1）-1}}$，换元，根据二次函数的性质，即可求得四边形ABCD面积的最小值．

解答 解：（1）由椭圆E的右焦点坐标为（c，0），由点到直线的距离公式可知d=$\frac{丨c+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
右顶点（a，0），由$\frac{a-1}{丨2-a丨}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2，
由b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
当直线AC的斜率为0，此时直线BF的斜率不存在，
易知求得四边形ABCD的面积为S_ABCD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$，
同理，当直线AC的斜率不存在时，四边形ABCD的面积亦2$\sqrt{2}$，
当中AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y=kx，代入椭圆方程整理得：（1+2k²）x²=2，
∴丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x_A-x_C丨=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴直线BD的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，同理可知丨BD丨=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+2}}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+2{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{2（{k}^{2}+1）^{2}+（{k}^{2}+1）-1}}$，
令1+k²=t，（t＞0），则S_ABCD=$\frac{4t}{\sqrt{2{t}^{2}+t-1}}$=$\frac{4}{\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{4}{\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）+\frac{9}{4}}}$，
∵$\frac{1}{t}$∈（0，1），
∴S_ABCD≥$\frac{8}{3}$，当t=2时，即k=±1时取等号，
又∵$\frac{8}{3}$＜2$\sqrt{2}$，
∴S_ABCD的最小值为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，一元二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．