Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{3}{2}$
（1）试求函数f（x）的单调递增区间
（2）在锐角△ABC中，△ABC的三角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=$\frac{3}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，求a-$\frac{1}{2}$b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）进行向量数量积的坐标运算，并根据两角和差的余弦公式进行化简便可得出$f（x）=\frac{1}{2}cos（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$，然后根据余弦函数的增区间即可求出该函数的单调增区间；
（2）根据f（C）=$\frac{3}{2}$及C为锐角便可求出C=$\frac{π}{3}$，这样由正弦定理便可得出a=2sinA，b=2sinB，且B=$\frac{2π}{3}-A$，从而得出$a-\frac{1}{2}b=2sinA-sin（\frac{2π}{3}-A）$，根据两角和差的正弦公式即可得出$a-\frac{1}{2}b=\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$，根据A，B为锐角便可求出A的范围，进而得出$A-\frac{π}{6}$的范围，从而得出$a-\frac{1}{2}b$的范围．

解答 解：（1）$f（x）=sinxcosx+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}（cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6}）$$+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}（cos2xcos\frac{π}{6}+sin2xsin\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}cos（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$；
解$2kπ-π≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ$，k∈Z得，$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）$f（C）=\frac{1}{2}cos（2C-\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$；
∴$cos（2C-\frac{π}{6}）=0$；
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，或$\frac{3π}{2}$；
∴$C=\frac{π}{3}$，或$\frac{5π}{6}$（舍去），且$c=\sqrt{3}$；
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$；
∴a=2sinA，b=2sinB；
∴$a-\frac{1}{2}b=2sinA-sinB$
=2sinA-sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=$2sinA-sin\frac{2π}{3}cosA+cos\frac{2π}{3}sinA$
=$\frac{3}{2}sinA-\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$
=$\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$；
$0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}$，且$0＜A＜\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$；
∴$0＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}$；
∴$0＜\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）＜\frac{3}{2}$；
∴$a-\frac{1}{2}b$的范围为$（0，\frac{3}{2}）$．

点评 考查二倍角的正弦公式，两角和差的正弦、余弦公式，以及余弦函数的单调增区间，复合函数单调性判断，已知三角函数值求角，正弦定理，熟悉正弦函数图象．