Question

13．求下列函数的值域：
（1）f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（x∈R）；
（2）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）由x²+1≥1，便可得出$\frac{1}{{x}^{2}+1}$的范围，即求出了函数f（x）的值域；
（2）函数中带根号，可考虑换元：令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，可求出x，带入原函数得到y=2t²-t+2，该函数便是二次函数，可配方，便可看出该函数在[0，+∞）上的值域．

解答 解：（1）x²+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+1}≤1$；
∴该函数的值域为：（0，1]；
（2）令$\sqrt{x-1}=t，t≥0$，则：x=t²+1；
∴y=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}≥\frac{15}{8}$，t≥0；
∴原函数的值域为[$\frac{15}{8}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，根据不等式的性质求函数值域的方法，换元法求函数的值域，二次函数的值域求法：配方．