Question

1．已知二次函数f（x）满足以下条件：f（-2）=f（0）=1，f（-1）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值g（t），并求出g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=a（x+1）²，根据f（0）=1，解得a的值，即可求出f（x）的解析式；
（2）分情况讨论求出f（x）的最小值即可，从而可得g（t）的最小值．

解答 解：（1）设f（x）=a（x+1）²，
根据f（0）=1，
即有a=1，
∴f（x）=（x+1）²；
（2）解：①当t≥-1时，f（x）在[t，t+2]上是增函数
∴f（x）_min=f（t）=（t+1）²；
②当t+2≤-1，即t≤-3时，f（x）在[t，t+1]上是减函数
∴f（x）_min=f（t+2）=（t+3）²；
③当-3＜t＜-1时，f（x）_min=f（-1）=0，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t+3）^{2}，t≤-3}\\{0，-3＜t＜-1}\\{（t+1）^{2}，t≥-1}\end{array}\right.$，g（t）的最小值是0．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题．