Question

【题目】如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．

（1）求sin∠ABC的大小；
（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，cos∠ABC= =﹣

所以sin∠ABC=

（2）解：在△ABD中，由 得：

AD= ，BD= ﹣

设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，

则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+ + ﹣ ）

令H（θ= ，则H′（θ）= ．

当0＜θ＜ 时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当 ＜θ＜ 时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增

∴θ= 时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．

此时BD= ，满足0＜ ＜70，所以点D落在BC之间

所以θ= 时，运输总成本最小．

答：θ= 时，运输总成本最小

【解析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．