Question

2．若函数t（x）在定义域内满足t（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{t（{x}_{1}）+t（{x}_{2}）}{2}$此时我们称函数t（x）在定义域内具有性质M．
（1）已知函数f（x）=x²+ax+b，求证：函数f（x）在定义域内具有性质M；
（2）若函数g（x）=3^x，判断函数g（x）在定义域内是否具有性质M，并说明理由；
（3）设函数h（x）=log_a[（2a-1）x+1]，在定义域内具有性质M，指出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用性质化简求解，验证即可．
（2）根据函数的性质，结合指数函数的图象和性质，基本不等式，可得结论．
（3）通过复合函数的单调性，结合已知条件，说明a的范围即可．

解答 证明：（1）函数f（x）=x²+ax+b，任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+a$•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+b=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{4}+\frac{{a（x}_{1}+{x}_{2}）}{2}+b$．
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（x₁²+ax₁+b+x₂²+ax₂+b）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+a（{{x}_{1}}^{\;}+{{x}_{2}}^{\;}）}{2}+b$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{4}≤\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立
（2）解：若f（x）=3^x
则任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${3}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=$\sqrt{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}}{2}$，
由函数f（x）的值域为（0，+∞），可得：${3}^{{x}_{1}}＞0，{3}^{{x}_{2}}＞0$，
由基本不等式可得$\sqrt{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}＜\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}}{2}$，即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立，
函数g（x）在定义域内是否具有性质M；
（3）函数t（x）在定义域内满足t（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{t（{x}_{1}）+t（{x}_{2}）}{2}$，称函数t（x）在定义域内具有性质M，
函数h（x）=log_a[（2a-1）x+1]，在定义域内具有性质M，
可知：$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 2a-1＞0\end{array}\right.$，所以$\frac{1}{2}＜a＜1$．
a的取值范围：（$\frac{1}{2}，1$）．

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，实际考查函数的凸凹性，属于中档题．