Question

10．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，得到关于a，b，c的方程组，解出即可；（2）根据函数的单调性得到关于m，n的方程组，解出即可．

解答 解：（1）∵对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），
∴函数的对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$=1①，
又f（0）=3，f（3）=6，
∴f（0）=c=3②，f（3）=9a+3b+c=6③，
由①②③组成方程组解得：a=1，b=-2，c=3，
∴f（x）=x²-2x+3；
（2）f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
对称轴x=1，函数的最小值是2，
由于函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，m＜n，．
∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，
∴f（m）=2m，f（n）=2n，
即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m+3=2m}\\{{n}^{2}-2n+3=2n}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3，
∴m=1，n=3．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属中档题．