Question

14．已知函数 f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-x²-5，若对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，则a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立等价于f（x）≥2+g（x）_max．求得g（x）的最大值，进一步利用分离参数法，构造函数法，求得单调区间和最值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立
等价于f（x）≥2+g（x）_max．
由g（x）=x³-x²-5的导数g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）上，g′（x）＜0，g（x）递减；在（$\frac{2}{3}$，2）上，g′（x）＞0，g（x）递增．
g（2）=-1，g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{41}{5}$，可得g（x）_max=-1，
可得在[$\frac{1}{2}$，2]上，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立．
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0，
∴当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1．
∴a≥1．
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查了划归与转化的思想，属于中档题．