Question

（2013•青岛一模）如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且BB1=

2

a，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求证：AC∥面DB₁E．

Answer 1

分析：（I）连接BD，交AC于O，先求出BD的值，利用勾股定理求出DB₁、B₁E、DE的长度，即可得到△DB₁E为等腰
直角三角形．
（II）取DB₁的中点F，连接EF、OF，证明四边形EFOC为平行四边形，即可证得AC∥面DB₁E．

解答：解：（I）连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a．
因为BB₁、CC₁都垂直于面ABCD，∴BB₁∥CC₁ ，又面B₁C₁D₁∥面ABCD，∴BC∥B₁C₁ ，
故四边形BCC₁B₁为平行四边形，则B₁C₁=BC=a…（2分）
因为BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，
则DB1=

DB2+BB12

=

a2+2a2

=

3

a，DE=

DC2+CE2

=

a2+ a2 2

=

6 a

2

，且 B1E=

B1C12+C1E2

=

a2+ a2 2

=

6 a

2

，…（4分）
所以DE2+B1E2=

6a2+6a2

4

=3a2=DB12，所以△DB₁E为等腰直角三角形． …（6分）
（II）取DB₁的中点F，连接EF、OF，
因为O，F分别为DB，DB₁的中点，所以OF∥BB₁，且OF=

1

2

BB1．
因为EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB1，所以OF∥EC，且OF=EC，
所以，四边形EFOC为平行四边形．…（10分）
所以EF∥AC，因为AC?面DB₁E，EF?面DB₁E，
所以AC∥面DB₁E．…（12分）

点评：本题主要考查利用勾股定理证明直线和直线垂直，利用直线和平面平行的判定定理证明直线和平面平行，
注意利用三角形中位线的性质，属于中档题．