Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{e}$）
• B． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （e+$\frac{2}{e}$，+∞）
• D． （$\frac{{e}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值$\frac{4}{{e}^{2}}$，关于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四个相异实根，则t+$\frac{2}{t}$-λ=0的一根在（0，$\frac{2}{e}$），另一根在（$\frac{2}{e}$，+∞）之间，即可得出结论．

解答 解：由题意，f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=2时，函数取得极大值$\frac{4}{{e}^{2}}$，
关于x的方程$\sqrt{f（x）}$+$\frac{2}{\sqrt{f（x）}}$-λ=0有四个相异实根，则t+$\frac{2}{t}$-λ=0的一根在（0，$\frac{2}{e}$），另一根在（$\frac{2}{e}$，+∞）之间，
∴$\frac{2}{e}+e-λ＜0$，∴λ＞e+$\frac{2}{e}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性，考查方程根问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．