Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，是否存在常数k，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2．与圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由于直线与圆交于两个不同的点A，B?△＞0，解出即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=

OD

，而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)，

OD

与

PQ

共线等价于2（x₁+x₂）+6（y₁+y₂）=0，解出k并判定是否满足△＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
联立

y=kx+2 x2+y2-12x+32=0

化为x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　　　①
∵直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范围为(-

3

4

，0)．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=

OD

，
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4．　　③
而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
∴

OA

+

OB

与

PQ

共线等价于2（x₁+x₂）+6（y₁+y₂）=0，
将②③代入上式，解得k=-

3

4

．      
由（Ⅰ）知k∈(-

3

4

，0)，故没有符合题意的常数k．

点评：本题考查了直线与圆相交两点问题转化为方程联立得到关于x的一元二次方程的△＞0、直线平行转化为向量关系问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．